Programma del corso di analisi I, Ingegneria dell'Ambiente e Territorio, 
Meccanica, Energetica 

  


Argomenti svolti fino al 10-10-05 (compreso) e presi dal libro: Bertsch-Dal Passo  
"Elementi di Analisi Matematica I" Aracne Editrice.  

Definizione degli insiemi numerici (naturali, interi relativi, razionali) 

Esistenza degli irrazionali. Dimostrazione che  radice di due non e' razionale. 

Definizione degli irrazionali come allineamenti decimali infiniti non periodici 

Definizione dei reali come l'insieme di tutti gli allineamenti decimali Propri (ossia 
non aventi periodo 9 se periodici). 

Dimostrazione della numerabilita' degli interi relativi e dei razionali. Dimostrazione della 
non-numerabilita' degli irrazionali (diagonale di Cantor)

Dimostrazione della densita' dei razionali nei reali. 

I prossimi argomenti sono presi dal libro: P.Marcellini, C.Sbordone, "Elementi di Analisi Matematica uno, versione 
semplificata per i nuovi corsi di laurea" Liguori editore.  

Defizione di insieme limitato, Teorema di completezza (esistenza dell'estremo superiore, inferiore) senza dimostrazione. 

Definizione di "Induzione". Funzioni elementari (lineari, potenze, esponenziali, logaritmi e trigonometriche)   

Definizione di limite di successione finito e infinito. Definizione della non esistenza del limite di una successione.


Teoremi sui limiti (somma, prodotto, quoziente di limiti sia nel caso di limiti finiti sia nel caso in cui 
almeno uno dei limiti sia infinito in modulo) 

Dimostrazione della unicita' del limite, Teorema del confronto con dimostrazione, Teorema della permanenza del segno 
con dimostrazione e i due corollari a pag. 71. Proprieta' della successioni e limiti notevoli compresi nei paragrafi 22, 
23, 24, 25, 26, fra le pag. 72 e 84. Studio del limite della  successione (1+(1/n))^n e quindi il numero e. 

Criterio del rapporto per le successioni; Limiti delle seguenti successioni (log_b n)/(n^b); (n^b)/(a^n); (a^n)/n!; 
(n!)/(n^n); 

Limiti di funzioni (definizioni); limiti notevoli lim(x->0) (ln(1+x))/x, lim(x->0) (a^x -1)/x, lim(x->0) (sin(x))/x, 
lim(x->0) (1-(cos(x))^2)/(x^2), lim(x->0) ((1+x)^a-1)/x 

Definizione di a_n=o(b_n) per successioni entrambe infinite con n->infinito. Definizione di f(x)=o(g(x)) per funzioni 
infinitesime per x->a. 

Definizione di continuitā e classificazione delle discontinuitā. 

PARTE DI PROGRAMMA SVOLTA AL 26/11/06

Teoremi sulle funzioni continue. Teorema della permanenza del segno, Teorema di Weierstrass (esistenza si massimo e minimo 
per una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato, Teorema dei valori intermedi (assunzione di tutti i 
valori compresi fra minimo e massimo). 

Teoremi sulla invertibilitā delle funzioni continue definite su un intervallo e sulla continuitā della funzione inversa 

Teorema di eistenza del limite per una funzione monotona (con dimostrazione)

Teorema della monotonia di una funzione continua invertibile (con dimostrazione; dal Bertsch-Dalpasso). 

Definizione di derivata e suo significato geometrico. Operazioni con le derivate, derivata di una funzione composta, 
derivata dell'inversa di una funzione. Derivata delle funzioni elementari e delle loro inverse (trigonometriche comprese). 

Teorema di Fermat (dimostrato), di Rolle, di Lagrange, criterio di monotonia basato sulla derivata (dimostrato). 
Teorema 5.10 e Corollario 5.2 del Bertsch-Dal Passo. 

Definizione di funzione concava e convessa attraverso la posizione relativa della retta tangente. Criterio di concavitā 
o convessitā (con dimostrazione). 
 
Teoremi di L'Hopital (tutti i casi) 

Definizione di o-piccolo e relativa algebra.

Definizione di polinomi di Taylor. Formula di Taylor a pag. 160. La stessa formula č ripresa a pag. 
240. La dimostrazione di pag.160 e' fatta per funzioni aventi derivata  
A pag. 244 la dimostrazione č per funzioni con derivata n-esima non necessariamente continua. 
La dimostrazione data nel libro di testo manca della parte concernente l'unicitā che invece č stata 
dimostrata a lezione. La dimostrazione data a lezione č presa dal libro di Bertsch Dal Passo a pag. 213 Teorema 5.16. 

Definizione di uniforme continuitā. Teorema di Bolzano-Weierstrass (con dimostrazione). 

Dimostrazione del Teorema di Heine-Cantor. 

Enunciato del teorema: f:[a,+infinito) ->R uniformemente continua. Allora esistono due costanti positive a,b, tali che 
|f(x)| =< a|x| +b. 


Enunciato del teorema: f:[a,+infinito) ->R continua. Se č vera una delle seguenti tre condizioni 
1) f ha un asintoto orizzontale oppure obliquo
2) la derivata di f (qualora f sia derivabile) č uniformemente limitata. 
3) f č periodica 

allora f č unirormemente continua.